رقص منحنی‌ها در بی‌نهایت
میراث «مریم میرزاخانی» و گامی نو در هندسه هذلولی
در آسمان بی‌کران دانش بشری، گاه ستارگانی درخشان زاده می‌شوند که نه‌تنها راه را برای آیندگان روشن می‌کنند، بلکه با نور خود، دیوارهای بلند محدودیت را فرومی‌ریزند. مریم میرزاخانی، بانوی ریاضیات ایران، نامی ماندگار بر تارک ریاضیات جهان است که با کسب مدال فیلدز، نه‌تنها تا همیشه افتخاری برای ایران‌زمین شد، بلکه آینه‌ای تمام‌نما برای رؤیاهایی شد که در دل دختران این دیار می‌تپد.
ساحل غیبی‌پور. حسن فتاحی: در آسمان بی‌کران دانش بشری، گاه ستارگانی درخشان زاده می‌شوند که نه‌تنها راه را برای آیندگان روشن می‌کنند، بلکه با نور خود، دیوارهای بلند محدودیت را فرومی‌ریزند. مریم میرزاخانی، بانوی ریاضیات ایران، نامی ماندگار بر تارک ریاضیات جهان است که با کسب مدال فیلدز، نه‌تنها تا همیشه افتخاری برای ایران‌زمین شد، بلکه آینه‌ای تمام‌نما برای رؤیاهایی شد که در دل دختران این دیار می‌تپد.
این مقاله دلیل اصلی نوشتنش مریم میرزاخانی و زادروز او در 22 اردیبهشت است که به ایران تا روزی که خورشید در آسمان می‌درخشد، رنگ و بوی ریاضی داده است. در زادروز او در بسیاری از دپارتمان‌های ریاضی دنیا مراسم بزرگداشت و سخنرانی برگزار می‌شود. امسال در دانشگاهی که او در آمریکا درس می‌داد، برای زادروز او چندین سخنرانی تدارک دیده‌اند و ما هم در همراهی با آنها و کل دنیا که به احترام ریاضی‌دان فقید ایران کلاه از سر برمی‌دارند، این مقاله را در صفحه علم «شرق» منتشر می‌کنیم.
مریم میرزاخانی، فراتر از یک نام
او با قلم جادویی‌اش بر صفحه پیچیده هندسه، دنیایی آفرید که جهانیان را به شگفتی واداشت و نشان داد که اراده پولادین و ذهن خلاق، مرزهای جنسیت و جغرافیا را در هم می‌شکند. مریم میرزاخانی فراتر از یک ریاضی‌دان، نماد امید و الهام برای همه ما دختران و فرزندان ایران بود. او همچون ریاضی‌دانان بزرگ ایران مانند موسی خوارزمی، ابوریحان بیرونی، ابوالوفای بوزجانی و غیاث‌الدین جمشید کاشانی با کارهای علمی‌اش یادگاری سترگ برای ما به جا نهاده است. کارهای او در زمینه دینامیک و هندسه سطوح ریمانی، فضاهای مدولی و ساختارهای هندسی، نه‌تنها در زمان زیستش انقلابی در این حوزه‌ها ایجاد کرد، بلکه پژوهش‌هایش پس از درگذشت او نیز همچنان مسیرهای جدیدی را برای ریاضی‌دانان باز می‌کند.
نتایج بدیع او در درک رفتار ژئودزیک‌ها، توپولوژی و ویژگی‌های پیچیده سطوح، به‌عنوان چراغ راهی برای نسل جدید ریاضی‌دانان باقی خواهد ماند. او در راه علم، مشتاق و سخت‌کوش گام برداشت و میراث گران‌بهایش، چونان مشعلی است در دست نسل جدید، تا در مسیر دشوار علم و کشف حقیقت، بی‌هراس گام بردارند. قصه زندگی مریم میرزاخانی برای همه دانش‌آموزان و دانشجویان ایران‌زمین و نیز کل جهان می‌تواند چشمه الهام و الگویی زیبا از علم‌آموزی، امید و تلاش در راه دانش باشد.
این نوشتار، نه‌تنها ادای دینی است به میراث گران‌سنگ او، بلکه پنجره‌ای است رو به افق‌های نوینی که از دل پژوهش‌های او سر برآورده‌اند؛ افق‌هایی که همچنان ما را به سوی بی‌نهایت ریاضی فرامی‌خوانند. نوشته‌ای که در ادامه می‌آید، ترجمه مقاله‌ای است که اخیرا در مجله کوانتا با عنوان «Years After the Early Death of a Math Genius, Her Ideas Gain New Life» چاپ شده است. در این نوشتار، سعی شده است کار ارزشمند مریم میرزاخانی در هندسه به زبانی ساده روایت شود.
سال‌ها پس از درگذشت نابهنگام نابغه ریاضی دوران، مریم میرزاخانی، ایده‌های درخشان او همچنان در دنیای ریاضیات زنده هستند و جان تازه‌ای می‌یابند. اخیرا، اثباتی جدید در حوزه هندسه و دینامیک سطوح، کارهای مریم میرزاخانی را توسعه داده و تأثیر عمیق او را در این علم بیش‌ازپیش نمایان کرده است. این پیشرفت، بار دیگر جایگاه بی‌بدیل او را به‌عنوان یک پیشگام در دنیای ریاضیات تقویت می‌کند. مریم میرزاخانی در دوران دانشجویی خود، با نبوغ کم‌نظیرش، تحولی شگرف در درک ساختارهای هندسه هذلولی ایجاد کرد.
او با کنجکاوی بی‌حد و تلاش بی‌وقفه، به پرسش‌های بنیادی در این زمینه پرداخت و مسیرهای تازه‌ای را در مطالعه دینامیک سطوح و توپولوژی باز کرد. اما درحالی‌که هنوز بسیاری از پرسش‌های مورد علاقه‌اش بی‌پاسخ مانده بودند، در اوج شکوفایی علمی خود، در ۴۰سالگی از دنیا رفت. اوایل دهه ۲۰۰۰ میلادی، دانشجویی جوان در دانشگاه هاروارد شروع به کشف دنیایی متفاوت در ریاضیات کرد؛ دنیایی جدید، پر از شکل‌هایی که قوانین معمول هندسه را به چالش می‌کشیدند و رفتارهای غیرمنتظره‌ای داشتند. نام او مریم میرزاخانی بود، کسی که بعدها با تحقیقات درخشان خود، مرزهای دانش بشری را گسترش داد و در نهایت، به اولین زنی تبدیل شد که مدال فیلدز، بالاترین جایزه دنیای ریاضیات، را دریافت کرد. اولین پژوهش‌های مریم میرزاخانی بر سطوح هذلولی متمرکز بود؛
نوعی از فضاهای هندسی که در آن، برخلاف هندسه اقلیدسی، خطوط موازی نه‌تنها در فاصله ثابتی حرکت نمی‌کنند، بلکه با سرعت از هم دور می‌شوند. در این فضاها، سطح در دو جهت مخالف خم شده و ساختارهای پیچیده‌ای شکل می‌گیرد که تجسم آنها دشوار است. این سطوح، که در مباحثی چون نظریه ریسمان، فیزیک کوانتومی و دینامیک سیستم‌ها اهمیت بالایی دارند، همواره یکی از چالش‌برانگیزترین موضوعات در هندسه مدرن بوده‌اند. مریم میرزاخانی با روش‌های نوآورانه خود، تحولی اساسی در مطالعه این هندسه پیچیده ایجاد کرد. او به کمک ابزارهای جدید ریاضی، راهکارهای خلاقانه‌ای برای درک بهتر این سطوح ارائه داد و توانست ارتباطات عمیقی میان توپولوژی، دینامیک و هندسه آنها برقرار کند.
اما درحالی‌که در اوج دوران پژوهشی خود قرار داشت و همچنان سؤالات بزرگی در ذهنش بود، در سال ۲۰۱۷، به دلیل ابتلا به سرطان سینه در ۴۰سالگی درگذشت. پس از درگذشت مریم، پژوهش‌های ارزشمند او همچنان الهام‌بخش ریاضی‌دانان سراسر جهان باقی ماند. اخیرا، دو زن ریاضی‌دان برجسته، نالینی آنانتارامان و لورا مانک، در ادامه مسیر پژوهشی او گام‌های بزرگی برداشته‌اند. آنها در مقاله‌ای جدید، با گسترش ایده‌های میرزاخانی، نشان داده‌اند که سطوح هذلولی حتی پیچیده‌تر از آن چیزی هستند که پیش‌تر تصور می‌شد. این کشف، نه‌تنها درک ما را از این ساختارهای شگفت‌انگیز افزایش داده، بلکه راه‌های تازه‌ای را برای مطالعه دینامیک سطوح و رفتارهای غیرمنتظره ژئودزیک‌ها در این فضاها گشوده است.
تحقیق جدید آنها، ادامه‌دهنده آثار مریم میرزاخانی است و رؤیای او را برای درک بهتر این دنیای عجیب زنده نگه می‌دارد. مریم میرزاخانی تنها یک ریاضی‌دان نبود؛ او یک متفکر پیشگام بود که با عبور از موانع، راهی تازه در علم گشود. هرچند که زندگی کوتاهش مجال نداد تا به تمامی سؤالاتش پاسخ دهد. پژوهش‌های نالینی آنانتارامان و لورا مانک نشان می‌دهد که میراث میرزاخانی، نه‌تنها به‌یادماندنی است، بلکه همچنان الهام‌بخش و تأثیرگذار باقی خواهد ماند. اندیشه‌های یک نابغه، فراتر از زمان و مکان امتداد می‌یابد و مسیر علم را برای آیندگان روشن می‌کند.
هندسه‌ای شگفت‌انگیز و چالش‌برانگیز
الکس رایت، ریاضی‌دان برجسته، سطوح هذلولی را به جورچینی از تکه‌های خمیده تشبیه می‌کند که هرگز در فضای سه‌بعدی به طور کامل بسته نمی‌شوند. این سطوح دارای ویژگی‌های منحصربه‌فردی هستند که آنها را از دیگر انواع فضاهای هندسی متمایز می‌کند. هر بخش از یک سطح هذلولی مانند زین اسب است، فرمی که در یک جهت به سمت بالا و در جهت دیگر به سمت پایین خم می‌شود. این تکه‌های زینی‌شکل را می‌توان در کنار یکدیگر قرار داد، اما همیشه شکاف‌هایی میان آنها باقی می‌ماند که مانع از بسته‌شدن کامل سطح در فضای سه‌بعدی می‌شود. همین ساختار غیرعادی باعث می‌شود که مطالعه این سطوح به‌شدت چالش‌برانگیز باشد.
برخلاف هندسه اقلیدسی، که در آن بسیاری از ویژگی‌ها به‌سادگی قابل تعریف و اندازه‌گیری هستند، در هندسه هذلولی حتی ساده‌ترین سؤالات درباره ساختار این سطوح هنوز بی‌پاسخ مانده‌اند. این ویژگی‌ها موجب شده‌اند که این سطوح نه‌تنها در ریاضیات محض، بلکه در زمینه‌هایی مانند فیزیک نظری و نظریه پیچیدگی نیز اهمیت ویژه‌ای داشته باشند.
ژئودزیک‌ها و پیچیدگی مسیرهای بسته
برای بررسی یک سطح هذلولی، ریاضی‌دان‌ها مسیرهای بسته‌ای به نام ژئودزیک‌ها را مطالعه می‌کنند. ژئودزیک‌ها، کوتاه‌ترین مسیرهای ممکن روی یک سطح برای بازگشت به نقطه شروع هستند. در هندسه مسطح، این مسیرها به سادگی می‌توانند دایره‌هایی روی کره یا خطوط مستقیم روی صفحه باشند، اما در سطوح هذلولی، این مسیرها رفتاری بسیار پیچیده‌تر دارند. هرچه یک سطح سوراخ‌ها و پیچیدگی‌های بیشتری داشته باشد، مسیرهای ژئودزیکی نیز پرپیچ‌وخم‌تر و متنوع‌تر خواهند بود. به همین دلیل، مطالعه این مسیرها نه‌تنها به درک بهتر شکل کلی سطح کمک می‌کند، بلکه اطلاعات مهمی درباره نحوه اتصال بخش‌های مختلف سطح به یکدیگر ارائه می‌دهد.
بررسی میزان اتصال سطح و حرکت تصادفی
علاوه بر ژئودزیک‌ها، یکی دیگر از روش‌های مطالعه این سطوح، بررسی میزان اتصال آنها است. ریاضی‌دانان این ویژگی را با تحلیل حرکت تصادفی روی سطح بررسی می‌کنند. این حرکت‌ها نشان می‌دهند که چقدر طول می‌کشد تا یک نقطه متحرک روی سطح، از یک بخش به بخش دیگر برسد. در سطوحی با اتصال ضعیف، این زمان بسیار طولانی است، زیرا بخش‌های مختلف سطح به‌سادگی به هم مرتبط نیستند. در مقابل، در سطوح با اتصال قوی، این زمان کوتاه‌تر است و حرکت میان بخش‌های مختلف سریع‌تر انجام می‌شود. این ویژگی نقش مهمی در مدل‌سازی سیستم‌های دینامیکی و حتی نظریه شبکه‌ها ایفا می‌کند.
اهمیت پژوهش‌های جدید
همین پیچیدگی‌ها باعث شده‌اند که پژوهش‌های جدید درمورد سطوح هذلولی همچنان ادامه داشته باشند. کارهای اخیر نالینی آنانتارامان و لورا مانک، با الهام از تحقیقات مریم میرزاخانی، نشان داده‌اند که ساختارهای این سطوح حتی پیچیده‌تر از آن چیزی هستند که پیش‌تر تصور می‌شد. این پژوهش‌ها نه‌تنها درک ما از این سطوح را گسترش داده‌اند، بلکه مسیرهای تازه‌ای را برای مطالعه دینامیک هندسی و توپولوژی این فضاهای عجیب و شگفت‌انگیز باز کرده‌اند. مطالعه سطوح هذلولی همچنان یکی از چالش‌های بزرگ ریاضیات مدرن است، اما تلاش‌های پیوسته دانشمندان نشان می‌دهد که هر گام در این مسیر، افق‌های جدیدی را برای فهم بهتر ساختارهای بنیادی فضا و هندسه می‌گشاید.
مریم میرزاخانی و رازهای هندسه هذلولی
مریم میرزاخانی مجذوب منحنی‌های چرخشی بود. هر زمان که با همکارانش صحبت می‌کرد، با هیجان از آنها سخن می‌گفت، انگار که درباره شخصیت‌های یک داستان حرف می‌زند. کاسرا رفی، استاد دانشگاه تورنتو، به یاد می‌آورد که او همیشه دو پرسش اساسی را مطرح می‌کرد: «چند منحنی وجود دارد؟ و آنها کجا قرار دارند؟». در دوران دکتری، مریم فرمولی کشف کرد که به او امکان می‌داد تعداد ژئودزیک‌ها را تا طول مشخصی روی هر سطح هذلولی محاسبه کند.
این فرمول نه‌تنها درک بهتری از این سطوح ارائه می‌داد، بلکه او را قادر ساخت تا یکی از حدس‌های مشهور نظریه ریسمان را اثبات کند و بفهمد چه انواعی از سطوح هذلولی را می‌توان ساخت. پس از دریافت مدرک دکتری، میرزاخانی در زمینه هندسه، توپولوژی و سیستم‌های دینامیکی پیشرفتهای بزرگی رقم زد. بااین‌حال، علاقه‌اش به موضوع رساله دکتری همچنان پابرجا بود. ازاین‌رو، او به بررسی تصادفی سطوح هذلولی و ویژگی‌های آنها روی آورد. همکارانش می‌گویند که ابزارهای لازم برای این کار را در اختیار داشت و به همین دلیل، این مسیر پژوهشی برایش طبیعی و بدیهی بود. اما پیش از آنکه بتواند به طور کامل این مسیر را ادامه دهد، زندگی کوتاهش به پایان رسید. مانک، درباره او می‌گوید: «او در حال توسعه ابزارهای جدید بود، اما متأسفانه فرصتی برای استفاده از آنها پیدا نکرد».
لورا مانک و ادامه راه مریم میرزاخانی
لورا مانک هرگز تصور نمی‌کرد روزی ادامه‌دهنده راه مریم میرزاخانی باشد. در واقع، تا اوایل 20سالگی حتی قصد نداشت وارد دنیای پژوهش‌های ریاضی شود. از کودکی تصمیم داشت معلم شود و از سر بی‌حوصلگی در کلاس‌های ریاضی، به هم‌کلاسی‌هایش درس می‌داد. خودش درباره آن دوران می‌گوید: «در مدرسه کاملا ناراضی بودم. خودم را با نقش دستیار معلم سرگرم می‌کردم». بااین‌حال، در دوران تحصیلات تکمیلی، مانک مسیر متفاوتی را در پیش گرفت. او روی گسترش نظریه‌های ریاضی‌ای کار کرده است که مریم میرزاخانی پیش از درگذشتش فرصت تکمیل آنها را نیافت. مانک حس می‌کند که از طریق اثبات‌های ریاضی، پیوندی نامرئی با میرزاخانی دارد.
او مقطع کارشناسی ارشد را در دانشگاه پاریس-ساکلی گذراند؛ جایی که از میان ۴۰ دانشجو، فقط سه زن حضور داشتند. نزدیک به پایان دوره، متوجه شد که دو هم‌کلاسی زن دیگر قصد دارند دانشگاه را ترک کنند. این مسئله او را به فکر فرو برد: آیا آنها واقعا از روی انتخاب شخصی چنین تصمیمی گرفته بودند یا اینکه محیطی که در آن اقلیت بودند، آنها را به این سمت سوق داده بود؟ او احساس کرد که باید برای دخترانی که می‌خواست روزی به آنها آموزش دهد، الگویی از یک زن موفق در ریاضیات باشد. همین دغدغه او را به سمت دکتری کشاند. با خود گفت: «یکی از ما باید این کار را بکند، وگرنه بعدا پشیمان می‌شویم». به پیشنهاد یکی از استادانش، مانک با قطار به دیدار نالینی آنانتارامان رفت؛ ریاضی‌دانی که احتمالا می‌توانست مشاور او باشد.
آنانتارامان همانند میرزاخانی، در چندین حوزه ریاضی تخصص داشت. در واقع، او در دوران کاری خود چندین بار با میرزاخانی ملاقات کرده بود. هر دو تقریبا هم‌سن بودند و به موضوعات مشابهی علاقه داشتند. همچنین هر دو علاقه خاصی به علوم انسانی داشتند؛ همان‌طور که میرزاخانی در نوجوانی به ادبیات گرایش داشت، آنانتارامان نیز سال‌ها در دوراهی بین موسیقی و ریاضیات سرگردان بود. نالینی آنانتارامان تا مدت‌ها بین حرفه پیانیست کلاسیک و ریاضی‌دان‌بودن مردد بود. اما در نهایت به دنیای ریاضیات روی آورد و اخیرا نتیجه‌ای انقلابی در هندسه هذلولی به دست آورده است. پژوهش‌های او در این حوزه، به‌ویژه در زمینه توزیع مقادیر ویژه در فضاهای هذلولی، نقش مهمی در فهم بهتر رفتار سیستم‌های دینامیکی و مکانیک کوانتومی داشته است.
او موفق شده است ارتباطی میان نظریه طیفی، هندسه هذلولی و سیستم‌های آشوبناک برقرار کند؛ حوزه‌هایی که می‌توانند تأثیر عمیقی بر فیزیک نظری، نظریه اعداد و حتی علوم کامپیوتر داشته باشند. آنچه آنانتارامان را از بسیاری از ریاضی‌دانان دیگر متمایز می‌کند، دیدگاه بینا‌رشته‌ای او نسبت به مسائل علمی است. او نه‌تنها به روابط انتزاعی میان فضاهای هذلولی و فیزیک علاقه دارد، بلکه سعی می‌کند درک شهودی از این مفاهیم را نیز پرورش دهد. این همان چیزی است که مانک را شیفته همکاری با او کرد؛ توانایی ترکیب نگاه عمیق ریاضیاتی با روش‌های خلاقانه حل مسئله. مسیر لورا مانک، از دانشجویی که روزی به ریاضیات بی‌علاقه بود تا پژوهشگری که راه مریم میرزاخانی را ادامه می‌دهد، نشان‌دهنده تأثیر افرادی همچون نالینی آنانتارامان در شکل‌گیری نسل جدید ریاضی‌دانان است. اکنون او نه‌تنها به تحقیقات خود ادامه می‌دهد، بلکه در تلاش است راه را برای زنانی که می‌خواهند وارد دنیای ریاضیات شوند، هموارتر کند.
اتصال و شکاف طیفی در سطوح هذلولی
در سال ۲۰۱۵، هر دو ریاضی‌دان برای یک ترم به دانشگاه کالیفرنیا، برکلی سفر کردند. جالب اینجاست که دختر میرزاخانی و پسر آنانتارامان هم‌سن‌وسال بودند؛ به گونه‌ای که در یک زمین بازی محلی به طور اتفاقی یکدیگر را ملاقات می‌کردند و درحالی‌که کودکان‌شان مشغول بازی بودند، درباره چالش‌ها و تجربیات مربوط به مادر‌بودن گفت‌وگو می‌کردند. نالینی آنانتارامان آگاه بود که مریم میرزاخانی در پایان عمر خود، آزمایش‌هایی روی سطوح هذلولی تصادفی آغاز کرده بود و او قصد داشت همین مسیر پژوهشی را ادامه دهد.
یکی از راه‌های فهم میزان اتصال یک سطح هذلولی، بررسی حرکت تصادفی بر روی آن است. تصور کنید که یک مورچه به طور تصادفی روی چنین سطحی حرکت کند؛ اگر مسیرهای متعددی بین بخش‌های مختلف وجود داشته باشد، مورچه به‌راحتی می‌تواند به هر نقطه‌ای برسد، اما اگر اتصال بین نواحی ضعیف باشد مثلا مانند یک دمبل که دو قسمت بزرگ را فقط با یک پل باریک به هم وصل می‌کند مورچه ممکن است مدت طولانی در یک ناحیه گیر کند و به‌سختی به بخش دیگر منتقل شود. برای اندازه‌گیری میزان اتصال یک سطح، ریاضی‌دانان از مفهومی به نام شکاف طیفی استفاده می‌کنند. این عدد نشان می‌دهد که سطح از نظر پیوستگی چقدر به هم متصل است؛
هرچه شکاف طیفی بیشتر باشد، ارتباط میان بخش‌های سطح قوی‌تر است. حتی اگر نتوان شکل دقیق سطح را تجسم کرد، این عدد می‌تواند نمای کلی ساختار آن را به ما نشان دهد. به عبارت دیگر، رافی می‌گوید: «این عدد مثل ابزاری است برای گفتن اینکه «این سطح چه شکلی به نظر می‌رسد؟». برای درک بهتر، می‌توان این موضوع را به شهرسازی تشبیه کرد در شهری با خیابان‌ها و راه‌های متعدد، رفت‌وآمد میان محله‌ها آسان است (شکاف طیفی بالا) اما در شهری که فقط یک یا دو مسیر باریک وجود دارد، ممکن است مردم برای مدت زیادی در یک منطقه بمانند و دسترسی به سایر محله‌ها دشوار شود (شکاف طیفی پایین). این رویکرد در هندسه و فیزیک کاربرد فراوانی دارد.
به کمک آن می‌توان ساختار فضاها و نحوه حرکت در آنها را به طور جامع‌تر تحلیل کرد. شکاف طیفی به طور نظری می‌تواند هر مقداری بین صفر تا یک‌چهارم باشد، اما بیشتر سطوح هذلولی که ریاضی‌دان‌ها ساخته‌اند، شکاف طیفی نسبتا کمی دارند. تا سال ۲۰۲۱، آنها نتوانسته بودند راهی پیدا کنند که سطوحی با هر تعداد حفره بسازند که بالاترین شکاف طیفی ممکن را داشته باشند یعنی سطوحی که بیشترین اتصال را دارند.
اگرچه سطوح هذلولی با شکاف طیفی بالا کم هستند، ریاضی‌دان‌ها فکر می‌کنند که این سطوح در واقع رایج‌تر باشند. یک دنیای وسیع از سطوح هذلولی وجود دارد که هنوز به طور کامل کاوش نشده است. ریاضی‌دان‌ها معمولا نمی‌توانند سطوح خاصی را بسازند، اما امیدوارند ویژگی‌های عمومی یک سطح معمولی را بفهمند. وقتی به همه سطوح هذلولی نگاه می‌کنند، انتظار دارند بیشتر آنها شکاف طیفی یک‌چهارم داشته باشند. این چالشی بود که آنانتارامان امیدوار بود به دانشجوی دکتری جدیدش محول کند. مانک که مشتاق بود تحت نظر یک استاد زن کار کند و اهداف بلندپروازانه‌ای برای خود تعیین کند: «اگر قرار است دکترا بگیرم، واقعا باید این کار را بکنم».
ادامه مسیر
در سال ۲۰۱۸، فقط یک سال پس از درگذشت مریم میرزاخانی، لورا مانک تحصیلات تکمیلی خود را تحت نظر نالینی آنانتارامان آغاز کرد. نخستین هدف او این بود که تا حد امکان درباره پژوهش‌های میرزاخانی در زمینه سطوح هذلولی بیاموزد. او می‌دانست که این حوزه از ریاضیات، با وجود پیچیدگی زیاد، سرنخ‌هایی برای حل برخی از عمیق‌ترین مسائل در هندسه، فیزیک نظری و نظریه طیفی ارائه می‌دهد. یکی از چالش‌های کلیدی در این حوزه، تخمین تعداد ژئودزیک‌های بسته روی یک سطح هذلولی بود؛ مسیرهای حلقه‌ای که میرزاخانی در کارهایش به‌شدت مطالعه کرده بود. مشخص شده بود که اگر بتوان تعداد این ژئودزیک‌ها را با دقت کافی تخمین زد، می‌توان شکاف طیفی آن سطح را محاسبه کرد.
شکاف طیفی معیاری است که اطلاعات مهمی درباره ساختار یک سطح و نحوه انتشار امواج روی آن ارائه می‌دهد. مانک و آنانتارامان تلاش کردند ثابت کنند که تقریبا همه سطوح هذلولی دارای شکاف طیفی یک‌چهارم هستند. این به آن معناست که هرچه تعداد حفره‌های یک سطح بیشتر باشد، احتمال اینکه شکاف طیفی آن به بیشترین مقدار ممکن نزدیک شود، افزایش می‌یابد. این یک نتیجه بنیادی در نظریه طیفی و هندسه هذلولی بود که می‌توانست درک ما را از این فضاها دگرگون کند.
پیشرفت با استفاده از فرمول میرزاخانی
مانک و آنانتارامان کار خود را با فرمولی آغاز کردند که مریم میرزاخانی در دوره دکتری‌اش برای شمارش ژئودزیک‌های بسته ارائه داده بود. این فرمول یکی از شاهکارهای او محسوب می‌شد، اما یک محدودیت مهم داشت: فرمول میرزاخانی تعداد ژئودزیک‌ها را کمتر از مقدار واقعی تخمین می‌زد.
این فرمول بیشتر ژئودزیک‌ها را در نظر می‌گرفت، اما برخی از مسیرهای پیچیده‌تر را از قلم می‌انداخت به‌ویژه مسیرهایی که از روی خود عبور می‌کردند.
به عنوان مثال، مسیرهایی که مانند شکل عدد هشت انگلیسی، دو حفره را در بر می‌گیرند، در این شمارش لحاظ نشده بودند.
میرزاخانی سال‌ها در دنیای سطوح هذلولی، با اشکال پیچیده و انتزاعی سروکار داشت. او ایده‌هایش را با رسم شکل روی کاغذهای بزرگ دنبال می‌کرد، هرچند این اشکال، به طور دقیق قابل ترسیم نبودند.
یک گام به سوی کشف شکاف طیفی یک‌چهارم
با استفاده از فرمول میرزاخانی، مانک و آنانتارامان موفق شدند شکاف طیفی نسبتا بزرگی را ثابت کنند. اما آنانتارامان در این مورد گفت: مثل یک معجزه بود. هنوز هم برایم عجیب است که این روش این‌قدر خوب جواب می‌دهد. آنها دریافتند که اگر بتوانند فرمول میرزاخانی را دقیق‌تر کنند و ژئودزیک‌های پیچیده‌تر را هم بشمارند، شاید بتوانند مقدار شکاف طیفی را به همان مقدار یک‌چهارم که ریاضی‌دانان به دنبالش بودند، برسانند. در همین حین، آنانتارامان ناگهان ایمیلی را به یاد آورد که چند سال پیش از درگذشت میرزاخانی دریافت کرده بود. در آن ایمیل، میرزاخانی درباره ارتباط بین شکاف طیفی و شمارش ژئودزیک‌ها سؤال‌هایی مطرح کرده بود. آنانتارامان گفت: آن موقع نمی‌دانستم چرا این سؤال‌ها را می‌پرسد، اما اکنون متوجه شد که شاید میرزاخانی هم قصد داشت از روشی مشابه استفاده کند. این کشف، انگیزه بیشتری به آنها داد تا مسیر پژوهشی خود را ادامه دهند.
توسعه فرمول میرزاخانی توسط مانک
در دوران تحصیلات تکمیلی، مانک تلاش کرد فرمول میرزاخانی را برای ژئودزیک‌های پیچیده‌تر گسترش دهد. علاوه بر این، او توضیحاتی درباره برخی از مفاهیمی نوشت که میرزاخانی در مقالاتش به طور کامل توضیح نداده بود. مانک گفت: «احساس می‌کنم برخی از ایده‌هایش را مطرح کرده بود تا کسی آنها را برای دیگران توضیح دهد، چون خودش فرصت نکرد».
نقطه عطف در سال ۲۰۲۱
تا سال ۲۰۲۱، مانک موفق شد روشی برای شمارش انواع ژئودزیک‌های پیچیده بیابد که پیش‌تر قابل دسترس نبودند. این یک پیشرفت بزرگ در پژوهش‌های آنها بود؛ زیرا اجازه می‌داد فرمول جدید را برای تخمین دقیق‌تر شکاف طیفی به کار گیرند. اما آنها با یک تصمیم مهم روبه‌رو شدند:
منتشرکردن نتایج اولیه خود، حتی اگر به شکاف طیفی یک‌چهارم نرسیده باشند؟
یا صبرکردن تا زمانی که بتوانند این مقدار را به طور کامل ثابت کنند؟
سرانجام، آنها تصمیم گرفتند که به جای انتشار یک نتیجه ناقص، مسیر تحقیق را تا دستیابی کامل به مقدار یک‌چهارم ادامه دهند. آنها می‌دانستند که این مسئله یکی از پرسش‌های مهم در هندسه هذلولی و نظریه طیفی است و هر گامی که در این مسیر برمی‌دارند، می‌تواند دستاوردی ارزشمند برای آینده ریاضیات باشد.
بن‌بست و بازنگری در روش
آنها با یک مشکل جدی روبه‌رو شدند: برخی ژئودزیک‌ها برای مدت طولانی در یک ناحیه از سطح می‌چرخیدند و مسیرهای درهم‌تنیده‌ای ایجاد می‌کردند. این اتفاق فقط در تعداد کمی از سطوح رخ می‌داد، اما در صورت وقوع، تعداد زیادی از این ژئودزیک‌ها ظاهر می‌شدند. اگر مانک و آنانتارامان آنها را در شمارش کلی لحاظ می‌کردند، محاسبات دچار خطا می‌شد و مقدار شکاف طیفی کمتر از یک‌چهارم به دست می‌آمد.
مانک گفت اوضاع ناامیدکننده به نظر می‌رسید. این ناامیدی زمانی بیشتر شد که دو تیم مستقل، در فاصله‌ای چندماهه، مقالاتی منتشر کردند و شکاف طیفی سه‌شانزدهم را ثابت کردند. اما این خبر برای آنانتارامان مهم نبود، او فقط به رسیدن به یک‌چهارم فکر می‌کرد. او گفت: «وقتی روی کاری شروع به کار می‌کنم، به یک هدف دوردست علاقه‌مند می‌شوم»؛ ویژگی‌ای که به نظر می‌رسید با میرزاخانی مشترک بود. الکس رایت که عضو یکی از تیم‌هایی بود که به نتیجه سه‌شانزدهم رسید، دیدگاه مانک را درک کرد. او گفت: «کارکردن روی چنین مسئله‌ای برای یک دانشجوی دکترا غیرمعمول است». همچنین به نظر نمی‌رسید که کسی بتواند راهی برای رسیدن به یک‌چهارم پیدا کند.
نظریه گراف و هندسه هذلولی: پلی میان دو جهان
در دنیای ریاضیات، شاخه‌های مختلف گاهی به شکل غیرمنتظره‌ای به هم پیوند می‌خورند. یکی از این پیوندهای شگفت‌انگیز، ارتباط میان نظریه گراف‌ها و هندسه هذلولی است. هرچند این دو حوزه در نگاه اول کاملا مجزا به نظر می‌رسند؛ یکی در مطالعه شبکه‌های انتزاعی از نقاط و یال‌ها، و دیگری در بررسی فضاهای خمیده و غیرمسطح اما شباهت‌های عمیقی میان آنها وجود دارد که می‌تواند به حل مسائل بنیادی در هر دو زمینه کمک کند. نالینی آنانتارامان و لورا مانک هنگام تحقیق روی شکاف طیفی در سطوح هذلولی، به ارتباطات شگفت‌انگیزی بین این دو شاخه پی بردند. آنها دریافتند که ایده‌هایی که در نظریه گراف‌ها برای توصیف رفتار گراف‌های تصادفی استفاده می‌شوند، می‌توانند به حل مسائل پیچیده در هندسه هذلولی نیز کمک کنند. این درک جدید، راه را برای کاربردهای گسترده‌تر نظریه گراف‌ها در مسائل هندسی باز کرد.
قضیه جوئل فریدمن: گراف‌های تصادفی و بهینه‌بودن اتصال
در حدود 20 سال پیش، جوئل فریدمن، یکی از ریاضی‌دانان برجسته نظریه گراف، نشان داد که بیشتر گراف‌های تصادفی دارای یک ویژگی مهم هستند: آنها بهینه به هم متصل‌اند. این ویژگی به این معناست که اگر در یک گراف تصادفی یک مسیر از نقطه‌ای به نقطه دیگر بکشیم، احتمال اینکه این مسیر از لحاظ طول و اتصال، کارآمدترین مسیر ممکن باشد، بسیار بالاست. در نظریه طیفی گراف، این ویژگی از طریق کمیتی به نام شکاف طیفی اندازه‌گیری می‌شود. هرچه شکاف طیفی بزرگ‌تر باشد، اتصال در گراف قوی‌تر است و این مسئله ارتباط مستقیمی با رفتار امواج، انتشار اطلاعات و حتی پایداری شبکه‌ها دارد. قضیه فریدمن که به‌عنوان یکی از نتایج اساسی در نظریه گراف‌های تصادفی شناخته می‌شود، بعدها ابزاری ارزشمند برای حل مسائل پیچیده در هندسه هذلولی شد. اما کاربرد آن در این حوزه، کار ساده‌ای نبود.
چالش استفاده از نتیجه فریدمن در هندسه هذلولی
هنگامی‌که آنانترامان و مانک پروژه خود را آغاز کردند، آنانترامان تصمیم گرفت اثبات فریدمن را مطالعه کند. اما مانند بسیاری از ریاضی‌دانان دیگر، در ابتدا این نتیجه را غیرقابل درک یافت. او درباره تجربه اولیه خود در مواجهه با این قضیه گفت: «در آن زمان واقعا هیچ چیزی از آن نمی‌فهمیدم». اثبات فریدمن نه‌تنها طولانی و پیچیده بود، بلکه از ابزارهای پیشرفتهای در ترکیبات، احتمال، و آنالیز طیفی استفاده می‌کرد. مارک رایت، یکی از متخصصان این حوزه، درباره سختی این اثبات گفته است: «این یک نتیجه مشهور و بسیار سخت است که اثبات آن طولانی بوده و در برابر ساده‌سازی مقاوم است» اما آنانترامان پس از مدتی دوباره به این موضوع بازگشت. او سرنخ‌های جدیدی پیدا کرد و دریافت که بخش‌هایی از اثبات فریدمن شباهت زیادی به کاری دارد که خودش و مانک روی سطوح هذلولی انجام می‌دادند. این بینش، دریچه‌ای تازه به روی آنها گشود.
شباهت‌های کلیدی میان گراف‌ها و سطوح هذلولی
به طور شهودی، یک گراف مجموعه‌ای از نقاط (رأس‌ها) است که با یال‌هایی به هم متصل شده‌اند. در مقابل، یک سطح هذلولی را می‌توان به‌عنوان یک فضای خمیده در نظر گرفت که در آن، مسیرهای مستقیم (ژئودزیک‌ها) به شکلی متفاوت از فضای اقلیدسی رفتار می‌کنند.
مسیرهای پیچیده و مشکل شمارش آنها
در اثبات فریدمن، یکی از چالش‌های اصلی، وجود مسیرهای پیچیده‌ای بود که بین نقاط یک گراف کشیده می‌شدند. این مسیرها، مانند ژئودزیک‌های پیچیده در سطوح هذلولی، باعث می‌شدند که محاسبه شکاف طیفی به‌درستی انجام نشود. به زبان ساده، این مسیرها مانند ژئودزیک‌هایی بودند که چندین بار از روی خودشان عبور می‌کنند، مشابه آنچه در کارهای میرزاخانی روی ژئودزیک‌های بسته پیچیده بررسی شده بود.
ارتباط بین اتصال گراف و شکاف طیفی در سطوح هذلولی
یکی از نتایج مهم نظریه گراف این است که هرچه گراف بهینه‌تر به هم متصل باشد، شکاف طیفی آن بزرگ‌تر خواهد بود. این ایده در فضای هذلولی نیز مصداق داشت:
در یک سطح هذلولی، اگر ژئودزیک‌ها به طور یکنواخت توزیع شوند و مسیرهای تصادفی به‌صورت متوازن سطح را پوشش دهند، شکاف طیفی آن سطح به مقدار ماکزیمم یک‌چهارم نزدیک‌تر خواهد شد.
به‌طور مشابه، در یک گراف تصادفی، اگر گراف بهینه به هم متصل باشد، مقادیر ویژه آن ساختار طیفی مناسبی خواهند داشت.
تطبیق روش‌های نظریه گراف با هندسه هذلولی
هنگامی‌که آنانترامان به شباهت‌های میان قضیه فریدمن و سطوح هذلولی پی برد، متوجه شد که برخی از روش‌هایی که در نظریه گراف‌ها برای بررسی اتصال گراف‌ها به کار می‌رود، می‌تواند برای مطالعه هندسه هذلولی نیز مفید باشد. به بیان دیگر، اگر بتوان گرافی را پیدا کرد که ویژگی‌های آن به سطح هذلولی نزدیک باشد، می‌توان با استفاده از ابزارهای نظریه گراف‌ها، اطلاعات جدیدی درباره شکاف طیفی این سطوح به دست آورد. کشف آنانترامان و مانک نشان داد که روش‌های نظریه گراف‌ها می‌توانند به حل برخی از بزرگ‌ترین چالش‌های هندسه هذلولی کمک کنند. این پژوهش، پیامدهای عمیقی داشت:
1- ایجاد ابزارهای جدید برای تحلیل سطوح هذلولی: اکنون، محققان می‌توانند از تکنیک‌های گرافی برای مطالعه این فضاها استفاده کنند.
2- گسترش نظریه طیفی در فیزیک و ریاضیات: شکاف طیفی در هندسه هذلولی، ارتباط نزدیکی با رفتار کوانتومی امواج دارد و این نتایج می‌تواند در فیزیک نظری کاربرد داشته باشد.
3- درک عمیق‌تر از ارتباط میان حوزه‌های مختلف ریاضیات: این پژوهش نمونه‌ای عالی از بینارشته‌ای‌بودن ریاضیات است، جایی که ایده‌های نظریه گراف به حل مشکلاتی در هندسه هذلولی کمک می‌کنند.
کاری که آنانترامان و مانک انجام دادند، نمونه‌ای از قدرت الهام‌گیری بین رشته‌ای در ریاضیات است. درحالی‌که نظریه گراف‌ها در ابتدا ابزاری کاملا مجزا از هندسه هذلولی به نظر می‌رسید، در نهایت مشخص شد روش‌های آن می‌توانند بینشی جدید درمورد ساختار سطوح هذلولی و شکاف طیفی ارائه دهند.
الهام از نظریه گراف‌ها برای حل یک مسئله هندسی
در ماه می ۲۰۲۲، آنانترامان و مانک کارگاهی برگزار کردند و از جوئل فریدمن دعوت کردند تا درباره کارهایش سخن بگوید. فریدمن که سال‌ها پیش اثباتی پیچیده در نظریه گراف‌ها ارائه کرده بود، در این جلسه گفت: «آنها واقعا به تکنیکی نیاز داشتند که در اعماق اثبات من نهفته بود». این دیدار نقطه عطفی در پژوهش آنانترامان و مانک شد و مسیر تحقیقاتی آنها را دگرگون کرد. در همین راستا، آنانترامان و مانک نیز با اشتیاق زیاد، روش فریدمن را بررسی کردند و متوجه شدند او راهی برای حذف مسیرهای مشکل‌زا در گراف‌ها از محاسبات خود یافته است. این همان روشی بود که آنها برای هندسه هذلولی به دنبالش بودند.
پس از گفت‌وگو با فریدمن، آنانترامان و مانک دریافتند که می‌توانند تکنیک او را برای حل مسئله خود تطبیق دهند. البته چالش‌های زیادی باقی‌مانده بود؛ تبدیل این روش به چیزی که در هندسه هذلولی کار کند، نیازمند تلاش و خلاقیت زیادی بود. اما تردیدهای آنها برطرف شده بود. مانک با هیجان گفت: «در این مرحله کاملا واضح بود که می‌توانیم کار را به پایان برسانیم». این کشف، پلی میان نظریه گراف‌ها و هندسه هذلولی ایجاد کرد و نشان داد که چگونه ایده‌های ریاضی، حتی اگر در ابتدا به نظر نامرتبط بیایند، می‌توانند در نهایت به هم پیوند بخورند و به حل مسائل پیچیده کمک کنند. اوایل سال ۲۰۲۳، آنانترامانو مانک مقاله‌ای منتشر کردند که دستاوردهای مهم آنها تا آن زمان را خلاصه می‌کرد.
در این مقاله، آنها موفق به اثبات شکاف طیفی دونهم شدند که یک رکورد جدید در این حوزه محسوب می‌شد. مانک این نتیجه را «یک گام میانی بسیار خوب» توصیف کرد. در سال بعد، آنها روش‌های جوئل فریدمن را تطبیق داده و چارچوبی برای دستیابی به مقدار یک‌چهارم ارائه کردند. سرانجام، در ماه گذشته، آنها موفق به تکمیل اثبات خود شدند و نشان دادند که یک سطح هذلولی تصادفی، با احتمال بالا، دارای بیشینه شکاف طیفی خواهد بود. این کشف، درک ریاضی‌دانان از سطوح هذلولی را بیش از هر زمان دیگری گسترش داده است.
اکنون، پژوهشگران دیگر امیدوارند که روش‌های ارائه‌شده در این کار بتوانند به حل مسائل بنیادی در حوزه‌های مختلف، از جمله نظریه اعداد و دینامیک، کمک کنند. آنتون زوریش، ریاضی‌دان مؤسسه ریاضیات ژوسیو در پاریس، درباره این پیشرفت گفت: «چنین پژوهشی بلافاصله موجی از نتایج مرتبط را به همراه دارد». این تحقیق همچنین به مانک و آنانترامان فرصت داد تا با پژوهش‌های مریم میرزاخانی آشنایی عمیق‌تری پیدا کنند. مانک، با اینکه هنوز هیچ‌یک از سخنرانی‌های ضبط‌شده میرزاخانی را تماشا نکرده و صدای او را نشنیده است و ترجیح می‌دهد که تصویر او همچنان «کمی ناشناخته» باقی بماند اما معتقد است که از طریق مطالعه اثبات‌های او، به درک بهتری از نحوه تفکرش دست یافته است.
او می‌گوید: «زمانی که آثار کسی را به‌طور دقیق مطالعه می‌کنید، نه‌تنها محتوای اثر بلکه نحوه تفکر او را نیز می‌فهمید». اینکه آنانترامان و مانک توانسته‌اند میراث میرزاخانی را گسترش دهند، برای جامعه ریاضی دستاوردی بزرگ محسوب می‌شود. رایت استاد پیشین مانک، با ابراز تأسف گفت: «متأسفم که او نمی‌تواند این را ببیند». زوریش نیز با این نظر موافق بود و افزود: «قرار بود او در اینجا باشد تا از این دستاوردها قدردانی کند. هیچ شکی ندارم که او از این موضوع بسیار خوشحال می‌شد». این پژوهش، نه‌تنها یک موفقیت فنی در هندسه هذلولی است، بلکه پلی میان نسل‌های مختلف ریاضی‌دانان ایجاد کرده است از فریدمن و میرزاخانی تا مانک و آنانترامان و تأثیر آن در سال‌های آینده نیز ادامه خواهد داشت.
آخرین اخبار روزنامه را از طریق این لینک پیگیری کنید.
